素数

概要

この世の中で1番美しいと言われる、数字の羅列のこと(偏見)。 自然数の中に存在しており、2や3や5のように、1と自分自身以外に約数を持たない数の事。また、未だにその規則性は発見されていない。

念の為言っておくが、1は素数じゃないぞ。確かに、「1と自分自身以外の数で割れない」という素数の定義には当てはまる。しかし1を素数と定義してしまうと全ての整数は1と-1の倍数であり、つまり1は全ての自然数の約数となってしまう。そうすると素数は1以外になくなってしまうこれでは素数自体の定義すら矛盾してしまう。このことから数学上の定義に矛盾しないよう1は素数では無い。結局、数学的に都合が悪いからってだけ。

先に「素数の規則性は見つかっていない」と書いたが、素数が無限に続くことは知られている。その証明はユークリッドの『原論』にも載っている。

素数が無限にあることの証明

まず、素数が有限であると仮定する。もしそうならば、全ての素数に1から番号を振ると、番号はある自然数nで終わるはずである。これらは P1,P2,P3.....Pn の数列として表せる（素数のprime numberからpとした）。 ここで、有限個の素数を全てかけあわせ、1を足した数をNとして考える。すると、 N=P1・P2・P3.....Pn+1 と表すことができる。 この時Nは素数かを考えると、仮定の素数P1,P2,P3.....Pnのいずれでもないため素数では無い。では、NはP1,P2,P3.....Pnのいずれかの素数で割れるはずだが、+1が式の最後にあるためどの素数で割っても必ず1余る。つまり、ある数Nは素数でもなく素数でも割れない。こうした矛盾が発生するのは仮定が正しくないためである。よって、背理法により素数は無限にあることが分かる。